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多种方法变形求解:初中数学压轴题型几何动点专题——直角三角形
发布日期:2021-10-18 08:26    点击次数:169

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知识点剖析

关于动点直角三角形问题,首先我们需要讨论三角形中哪个角是最有可能构成直角,然后根据题型,运用不同的方法.如下为总结的四种方法:

1、第一类用一线三直角构造相似求解,分别用未知数的式子表示出一线三直角模型的边长;

2、用边角边,即两边对应成比例夹角相等,一般是动点构成的直角三角形与已知的直角三角形相似,需要求出已知直角三角形的边长,以及用未知数的式子求出动点直角三角形的边长,通过对应边成比例建立等式;

3、利用三角比来求解,实际上这个和上面一种情况类似,但是动点构成的直角三角形中,某个锐角的三角比已知,这样,直接在动点三角形中运用三角比直接可以建立等式;

4、把动点直角三角形三边的长度用未知数的式子,或者直接是数字表示出来,用勾股定理建立等式,求解出未知数,简称“强推”

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直角三角形问题

01

原理讲解

如图:直角三角形ABC,AB=8,BC=6,AC=10.D在AC从A往C运动,每秒2个单位,E在BC从B往C运动,每秒1个单位。当时间为何值时,△CDE为直角三角形.

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1.表示线段

2.分类考论,两边成比例

3.A与斜A相似求出直角

3.解方程

02

典型例题

1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,CD是△ABC的中线,动点P从点C出发,沿CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动,同时,动点Q从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度向终点B运动,过点P作PE∥AB,连结EQ,设点P运动的时间为t(s)(t>0)

(1)当四边形APEQ是菱形时,求t的值;

(2)当以点P、E、Q为顶点的三角形是直角三角形时,求t的值;

(3)设四边形APEQ与△BCD重叠部分图形的面积为S(平方单位),求S与t之间的函数关系式;

(4)设点A关于直线PQ的对称点为A′,点A′落在△ABC的外部时,直接写出t的取值范围.

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【分析】(1)首先证明四边形APEQ是平行四边形,根据AP=AQ列出方程即可解决问题.

(2)分两种情形讨论,列出方程即可解决问题.

(3)分两种情形①如图3中,当0<t≤1时,重叠部分是△EMN,易知△EMN是等边三角形.②如图4中,当1<t≤2时,重叠部分是四边形DMEQ.作PH⊥BA于H.分别求解即可.

(4)求出图5、图6中两个特殊位置的t的值,即可判断.

【解答】

解:(1)在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,∠B=30°,AC=2,

∴AB=2AC=4,BC=2√3,

∵PE∥AB,

∴∠PEC=∠B=30°,

∴PE=2t,EC=√3t,

由题意PC=t,AQ=2t,

∴AQ=PE,∵AQ=PE,

∴四边形APEQ是平行四边形,

当AP=AQ时,四边形APEQ是菱形,则2﹣t=2t,

∴t=2/3,

∴t=2/3时,四边形APEQ是菱形.

(2)如图1中,当∠QPE=90°,在Rt△APQ中,易知AP=2AQ,即2﹣t=4t,解得t=2/5.

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如图2中,当∠PQE=90°,易知四边形PQEC是矩形,可得AQ=2AP,即2t=2(2﹣t),解得t=1.

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当∠PEQ=90°时,易知cos∠B=√3/2,

∴(4-2t)/(2√3-√3t),解得t=2,是增根,

∴此种情形不存在.

综上所述,t=s或1s时,△PQE是直角三角形.

(3)①如图3中,当0<t≤1时,重叠部分是△EMN,易知△EMN是等边三角形,

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∵AD=DB,∠ACB=90°,∠B=30°,

∴CD=AD=DB,

∴∠PCN=∠CPN=60°,∠DCB=∠B=∠NEC=30°,

∴PN=EN=t,

∴S=√3/4·t²

②如图4中,当1<t≤2时,重叠部分是四边形DMEQ.作PH⊥BA于H

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易知QD=2t﹣2,ME=t,PH=√3/2(2﹣t),

∴S=1/2·(DQ+EM)·PH=1/2·(2t﹣2+t)·√3/2(2﹣t)=

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(4)①如图5中,当点A的对称点A′在线段AB上时,易知AP=2AQ,2﹣t=4t,解得t=2/5.

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②如图6中,当点A的对称点A′与点E重合时,易知AP=AQ,2﹣t=2t,解得t=2/3,

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观察图象可知,当0<t<或<t<2时,点A′落在△ABC的外部.

【点评】本题考查四边形综合题、菱形的判定和性质、直角三角形的性质、多边形的面积问题、轴对称等知识,解题的关键是灵活运用所学知识,学会用分类讨论的思想思考问题,学会寻找特殊点解决问题,属于中考压轴题.

03

同类练习

1.(2017春·新城区校级期末)如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上,OA、AB的长分别是方程x²﹣9x+18=0的两根,动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.

(1)求A、B两点的坐标.

(2)当t为何值时△APQ为直角三角形,此时点Q的坐标为?

(3)(实验班做)当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出M点的坐标;若不存在,请说明理由.

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【分析】

(1)先解一元二次方程x²﹣9x+18=0,可得x1=3,x2=6,即可得到AO=3√3,AB=6,再由勾股定理可得,BO=3,即可得到A(0,3),B(3√3,0).

(2)分两种情况讨论:①若∠APQ=90°,则△APQ∽△AOB;若∠AQP=90°,则△AQP∽△AOB,分别依据相似三角形的对应边成比例,即可得到BQ的长,进而得到点Q的坐标;

(3)当t=2时,AP=2,BQ=4,AQ=2,分三种情况讨论:四边形APQM1为平行四边形;四边形APM2Q为平行四边形;四边形AM3PQ为平行四边形,分别依据点M的位置得到M点的坐标.

【解答】

解:(1)∵x²﹣9x+18=0,

∴(x﹣3)(x﹣6)=6,

∴x1=3,x2=6,

∴AO=3,AB=6,

∴由勾股定理可得,BO=3√3,

∴A(0,3),B(3√3,0).

(2)由题可得,AP=t,BQ=2t,

①若∠APQ=90°,则△APQ∽△AOB,

由AP/AO=AQ/AB可得,t/3=(6-2t)/6,

解得t=3/2,

此时,BQ=3,

∵∠ABO=30°,

∴点Q的纵坐标为3×1/2=3/2,

横坐标为3√3-3/2√3=3/2√3,

即Q(3/2√3,3/2);

②若∠AQP=90°,则△AQP∽△AOB,

由AP/AO=AP/AB,可得,(6-2t)/3=t/6

解得t=12/5,

此时,BQ=24/5,

∵∠ABO=30°,

∴点Q的纵坐标为×=24/5×1/2=12/5,

横坐标为3√3-12/5√3=3/5√3,

即Q(3/5√3,12/5);

(3)存在.

当t=2时,AP=2,BQ=4,AQ=2,

∴AP=AQ,

又∵∠BAO=60°,

∴△APQ是等边三角形,

①如图,当四边形APQM1为平行四边形时,AM1=PQ=2,

∴点M1到y轴的距离为AM1×tan60°=√3,点M1到x轴的距离为AM1×cos60°+AO=1+3=4,

∴M1(√3,4);

②如图,当四边形APM2Q为平行四边形时,PM2=AQ=2,

∴点M2到y轴的距离为PM2×tan60°=√3,点M2到x轴的距离为PO﹣PM2×cos60°=1﹣1=0,

∴M2(√3,0);

③如图,当四边形AM3PQ为平行四边形时,PM3=AQ=2,

∴点M3到y轴的距离为PM3×tan60°=,点M3到x轴的距离为PM3×cos60°+PO=1+1=2,

∴M3(﹣√3,2).

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【点评】

本题属于四边形综合题,主要考查了直角三角形的性质,平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质的综合运用,在解答(2)(3)题时要注意分情况进行讨论,不要漏解.

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