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(新课程)关于反比例函数知识点——日照中考数学压轴题型讲解
发布日期:2021-10-18 08:33    点击次数:113
前言:

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反比例函数作为初中数学的难点,其隐含结论之多,计算复杂度之大,甚至超过了二次函数,但如果掌握了一定的解题技巧,许多提还是可以秒杀的。反比例函数的解答题策略主要有两个:

一是利用面积转化为K的几何意义;

二是设而不求。

如果掌握了一些解题的模型和二级结论相信可以节省不少答题时间。今天我们就主要来研究反比例函数的一些几何特征。

来,我们看下面选填例题

一.填空题(共5小题)

1.(2020·日照)如图,在平面直角坐标系中,▱ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上,顶点C,D位于x轴的负半轴上,双曲线y=k/x(k<0,x<0)与▱ABCD的边AB,AD交于点E、F,点A的纵坐标为10,F(﹣12,5),把△BOC沿着BC所在直线翻折,使原点O落在点G处,连接EG,若EG∥y轴,则△BOC的面积是( ).

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2.(2019·日照)如图,已知动点A在函数y=4/x(x>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E,延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F,直线EF分别交x轴、y轴于点M、N,当NF=4EM时,图中阴影部分的面积等于( ).

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3.(2018·日照)在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数y=m/x(m<0)与y=x²﹣4在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,则实数m的取值范围为( ).

4.(2017·日照)如图,在平面直角坐标系中,经过点A的双曲线y=k/x(x>0)同时经过点B,且点A在点B的左侧,点A的横坐标为√2,∠AOB=∠OBA=45°,则k的值为( ).

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5.(2016·日照)如图,直线y=﹣3/4x+3与x轴、y轴分别交于点A、B;点Q是以C(0,﹣1)为圆心、1为半径的圆上一动点,过Q点的切线交线段AB于点P,则线段PQ的最小值是( ).

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参考答案与试题解析

一.填空题(共5小题)

1.(2020·日照)如图,在平面直角坐标系中,▱ABCD的顶点B位于y轴的正半轴上,顶点C,D位于x轴的负半轴上,双曲线y=k/x(k<0,x<0)与▱ABCD的边AB,AD交于点E、F,点A的纵坐标为10,F(﹣12,5),把△BOC沿着BC所在直线翻折,使原点O落在点G处,连接EG,若EG∥y轴,则△BOC的面积是 (50/3).

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【分析】

将点F坐标代入解析式,可求双曲线解析式为y=60/x,由平行四边形的性质可得OB=10,BE=6,由勾股定理可求EG的长,由勾股定理可求CO的长,即可求解.

【解答】

解:∵双曲线y=k/x(k<0,x<0)经过点F(﹣12,5),

∴k=﹣60,

∴双曲线解析式为y=60/x.

∵▱ABCD的顶点A的纵坐标为10,

∴BO=10,点E的纵坐标为10,且在双曲线y=60/x上,

∴点E的横坐标为﹣6,即BE=6.

∵△BOC和△BGC关于BC对称,

∴BG=BO=10,GC=OC.

∵EG∥y轴,在Rt△BEG中,BE=6,BG=10,

∴EG=√10²-√6²=8.

延长EG交x轴于点H,

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∵EG∥y轴,

∴∠GHC是直角,

在Rt△GHC中,设GC=m,则有CH=OH﹣OC=BE﹣GC=6﹣m,GH=EH﹣EG=10﹣8=2,

则有m²=2²+(6﹣m)²,

∴m=10/3,

∴GC=10/3=OC,

∴S△BOC=1/2×10/3×10=50/3,

故答案为:50/3.

【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义,折叠的性质,平行四边形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.

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2.(2019·日照)如图,已知动点A在函数y=4/x(x>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E,延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F,直线EF分别交x轴、y轴于点M、N,当NF=4EM时,图中阴影部分的面积等于(2.5π ).

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【分析】

作DF⊥y轴于点D,EG⊥x轴于G,得到△GEM∽△DNF,于是得到DF/GM=NF/EM=4,设GM=t,则DF=4t,然后根据△AEF∽△GME,据此即可得到关于t的方程,求得t的值,进而求解.

【解答】

解:作DF⊥y轴于点D,EG⊥x轴于G,

∴△GEM∽△DNF,

∵NF=4EM,

∴DF/GM=NF/EM=4,

设GM=t,则DF=4t,

∴A(4t,1/t),

由AC=AF,AE=AB,

∴AF=4t,AE=1/t,EG=1/t,

∵△AEF∽△GME,

∴AF:EG=AE:GM,

即4t:1/t=1/t:t,即4t²=1/t²,

∴t²=1/2,

图中阴影部分的面积=[90π·(4t)²]/360+[90π·(1/t)²]/360=2π+1/2π=2.5π,

故答案为:2.5π.

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【点评】

本题考查了反比例函数y=k/x(k≠0)系数k的几何意义,扇形的面积,也考查了相似三角形的判定与性质.

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3.(2018·日照)在平面直角坐标系中,我们把横、纵坐标均为整数的点叫做整点.已知反比例函数y=m/x(m<0)与y=x²﹣4在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,则实数m的取值范围为 (﹣2≤m<﹣1) .

【分析】

根据题意可知抛物线在第四象限内的部分,然后根据反比例函数y=m/x(m<0)与y=x²﹣4在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,可以得到不等式组,从而可以求得m的取值范围.

【解答】

解:∵y=x²﹣4,

∴当x=0时,y=﹣4,当y=0时,x=±2,当x=1时,y=﹣3,

∴抛物线y=x²﹣4在第四象限内的部分是(0,﹣4)到(2,0)这一段曲线部分,

∵反比例函数y=m/x(m<0)与y=x2﹣4在第四象限内围成的封闭图形(包括边界)内的整点的个数为2,

∴m/1≥-2,m/1<-1,

解得,﹣2≤m<﹣1,

故答案为:﹣2≤m<﹣1.

【点评】

本题考查反比例函数的性质、二次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用不等式的性质解答.

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4.(2017·日照)如图,在平面直角坐标系中,经过点A的双曲线y=k/x(x>0)同时经过点B,且点A在点B的左侧,点A的横坐标为√2,∠AOB=∠OBA=45°,则k的值为 (1+√5)

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【分析】

过A作AM⊥y轴于M,过B作BD⊥x轴于D,直线BD与AM交于点N,则OD=MN,DN=OM,∠AMO=∠BNA=90°,由等腰三角形的判定与性质得出OA=BA,∠OAB=90°,证出∠AOM=∠BAN,由AAS证明△AOM≌△BAN,得出AM=BN=√2,OM=AN=k/√2,求出B(k/√2+√2,k/√2﹣√2),得出方程(k/√2+√2)·(k/√2﹣√2)=k,解方程即可.

【解答】

解:过A作AM⊥y轴于M,过B作BD⊥x轴于D,直线BD与AM交于点N,如图所示:

则OD=MN,DN=OM,∠AMO=∠BNA=90°,

∴∠AOM+∠OAM=90°,

∵∠AOB=∠OBA=45°,

∴OA=BA,∠OAB=90°,

∴∠OAM+∠BAN=90°,

∴∠AOM=∠BAN,

在△AOM和△BAN中,(∠AOM=∠BAN,∠AMO=∠BNA,OA=BA)

∴△AOM≌△BAN(AAS),

∴AM=BN=√2,OM=AN=k/√2,

∴OD=k/√2+√2,BD=k/√2﹣√2,

∴B(k/√2+√2,k/√2﹣√2),

∴双曲线y=k/x(x>0)同时经过点A和B,

∴(k/√2+√2)·(k/√2﹣√2)=k,

整理得:k²﹣2k﹣4=0,

解得:k=1±√5(负值舍去),

∴k=1+√5;

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故答案为:1+√5.

【点评】本题考查了坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度.

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5.(2016·日照)如图,直线y=﹣3/4x+3与x轴、y轴分别交于点A、B;点Q是以C(0,﹣1)为圆心、1为半径的圆上一动点,过Q点的切线交线段AB于点P,则线段PQ的最小值是 (√231/5) 

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【分析】

过点C作CP⊥直线AB与点P,过点P作⊙C的切线PQ,切点为Q,此时PQ最小,连接CQ,利用角的正弦求出CP的值,再根据勾股定理即可求出PQ的长度.

【解答】

解:过点C作CP⊥直线AB于点P,过点P作⊙C的切线PQ,切点为Q,此时PQ最小,连接CQ,如图所示.

当x=0时,y=3,

∴点B的坐标为(0,3);

当y=0时,x=4,

∴点A的坐标为(4,0).

∴OA=4,OB=3,

∴AB=√OA²+√OB²=5,

∴sinB=OA/AB=4/5.

∵C(0,﹣1),

∴BC=3﹣(﹣1)=4,

∴CP=BC·sinB=16/5.

∵PQ为⊙C的切线,

∴在Rt△CQP中,CQ=1,∠CQP=90°,

∴PQ=√CP²-√CQ²=√231/5.

故答案为:√231/5.

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【点评】

本题考查了切线的性质、三角函数以及勾股定理,解题的关键是确定P、Q点的位置.本题属于中档题,难度不大,解决该题型题目时,借助于切线的性质寻找到PQ取最小值时点P、Q的位置是关键.

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